世界上已证明的10大数学难题原题及详细证明

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纳维-斯托克斯方程是描述流体运动的基本偏微分方程，其解的存在性与光滑性是克雷数学研究所的千禧年难题之一。虽然完整解尚未找到，但在特定条件下取得了重要进展。2000年，皮埃尔-路易·利翁证明了在二维情况下解的整体存在性和唯一性。2014年，陶哲轩对三维情况给出了部分正则性结果。这些证明都运用了现代非线性偏微分方程的深刻理论，特别是能量估计和紧性方法。该问题的完全解决将彻底改变我们对流体动力学的理解，并对工程应用产生重大影响。

霍奇猜想是代数几何中最重要的问题之一，由威廉·霍奇在1950年提出。该猜想涉及代数簇的上同调类与代数闭链之间的关系。虽然一般情况仍未解决，但在低维情形取得了进展。1983年，森重文证明了三维霍奇猜想对某些特殊类型的代数簇成立。2013年，克莱尔·瓦赞等人对具有特殊对称性的四维代数簇给出了部分证明。这些结果都建立在现代代数几何的深刻理论基础上，特别是混合霍奇理论和 motives 理论的发展。霍奇猜想的完全解决将极大地统一代数几何与拓扑学的研究方法。

杨-米尔斯存在性与质量间隙是量子场论中的基本数学问题，也是克雷数学研究所的千禧年难题。该问题要求严格证明杨-米尔斯理论在四维时空中的量子化存在，且存在质量间隙。2002年，阿图尔·贾菲和爱德华·威滕在特定对称群下给出了部分证明。2013年，马丁·海尔等人对SU(2)规范群在特定情况下证明了质量间隙的存在。这些工作运用了构造性量子场论和随机偏微分方程等现代数学物理方法。该问题的完全解决将奠定量子场论严格的数学基础，对理论物理学产生深远影响。

p vs Np问题是理论计算机科学的核心问题，也是克雷数学研究所的千禧年难题。该问题询问是否所有可以在多项式时间内验证解的问题，也都能在多项式时间内求解。虽然尚未完全解决，但在特定情况下取得了进展。2002年，维诺德·德奥拉里卡尔证明了某些代数几何方法无法分离p和Np类。2018年，陈立杰等人对某些受限的计算模型证明了p≠Np。这些结果都运用了电路复杂性理论和代数化方法等前沿工具。该问题的解决将对密码学、算法设计等领域产生革命性影响。