第2章 新手礼包！过目不忘就是爽！

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32x2?x?34=0\\frac{3}{2}x^2 - x - \\frac{3}{4} = 023x2?x?43=0

6x2?4x?3=06x^2 - 4x - 3 = 06x2?4x?3=0

设m(x?, y?)，N(x?, y?)，则 x1+x2=46=23x_1 + x_2 = \\frac{4}{6} = \\frac{2}{3}x1+x2=64=32，x1x2=?36=?12x_1 x_2 = -\\frac{3}{6} = -\\frac{1}{2}x1x2=?63=?21。

ipmi?ipNi=(x1?xp)2+(y1?yp)2?(x2?xp)2+(y2?yp)2|pm| \\cdot |pN| = \\sqrt{(x_1-x_p)^2 + (y_1-y_p)^2} \\cdot \\sqrt{(x_2-x_p)^2 + (y_2-y_p)^2}ipmi?ipNi=(x1?xp)2+(y1?yp)2?(x2?xp)2+(y2?yp)2

由于点m, N在直线 y=x?12y = x - \\frac{1}{2}y=x?21 上，且p(1, 1\/2)也在这条直线上（因为直线m过p点），所以pm和pN的表达式可以简化。

实际上，p是弦mN上的一个定点。

ipmi?ipNi=i(x1?xp)(x2?xp)i?(1+km2)|pm| \\cdot |pN| = |(x_1-x_p)(x_2-x_p)| \\cdot (1+k_m^2)ipmi?ipNi=i(x1?xp)(x2?xp)i?(1+km2)，这里 km=1k_m=1km=1。

ipmi?ipNi=ix1x2?xp(x1+x2)+xp2i?(1+12)|pm| \\cdot |pN| = |x_1x_2 - x_p(x_1+x_2) + x_p^2| \\cdot (1+1^2)ipmi?ipNi=ix1x2?xp(x1+x2)+xp2i?(1+12)

ipmi?ipNi=i?12?1(23)+12i?2=i?12?23+1i?2=i?3+4?66i?2=i?16i?2=13|pm| \\cdot |pN| = |-\\frac{1}{2} - 1(\\frac{2}{3}) + 1^2| \\cdot 2 = |-\\frac{1}{2} - \\frac{2}{3} + 1| \\cdot 2 = |-\\frac{3+4-6}{6}| \\cdot 2 = |-\\frac{1}{6}| \\cdot 2 = \\frac{1}{3}ipmi?ipNi=i?21?1(32)+12i?2=i?21?32+1i?2=i?63+4?6i?2=i?61i?2=31。

这个计算过程，秦风写得极为流畅。

接下来是计算 |pA|·|pb|。

直线l的方程为 y?12=?1(x?1)y - \\frac{1}{2} = -1(x - 1)y?21=?1(x?1)，即 y=?x+32y = -x + \\frac{3}{2}y=?x+23。

代入椭圆方程 x22+y2=1\\frac{x^2}{2} + y^2 = 12x2+y2=1：

x22+(?x+32)2=1\\frac{x^2}{2} + (-x + \\frac{3}{2})^2 = 12x2+(?x+23)2=1

x22+x2?3x+94=1\\frac{x^2}{2} + x^2 - 3x + \\frac{9}{4} = 12x2+x2?3x+49=1

32x2?3x+54=0\\frac{3}{2}x^2 - 3x + \\frac{5}{4} = 023x2?3x+45=0

6x2?12x+5=06x^2 - 12x + 5 = 06x2?12x+5=0

设A(x?, y?)，b(x?, y?)，则 x3+x4=126=2x_3 + x_4 = \\frac{12}{6} = 2x3+x4=612=2，x3x4=56x_3 x_4 = \\frac{5}{6}x3x4=65。

同样，p(1, 1\/2)是弦Ab的中点。

ipAi?ipbi=i(x3?xp)(x4?xp)i?(1+kl2)|pA| \\cdot |pb| = |(x_3-x_p)(x_4-x_p)| \\cdot (1+k_l^2)ipAi?ipbi=i(x3?xp)(x4?xp)i?(1+kl2)，这里 kl=?1k_l=-1kl=?1。

由于p是Ab中点，所以 xp=x3+x42x_p = \\frac{x_3+x_4}{2}xp=2x3+x4，这意味着 x3?xp=?(x4?xp)x_3-x_p = -(x_4-x_p)x3?xp=?(x4?xp)。

因此，ipAi?ipbi=ipAi2=(x3?xp)2(1+kl2)|pA| \\cdot |pb| = |pA|^2 = (x_3-x_p)^2 (1+k_l^2)ipAi?ipbi=ipAi2=(x3?xp)2(1+kl2)。

x3,x4x_3, x_4x3,x4 是方程 $6x^2 - 12x + 5 = 0的两个根。判别式的两个根。 判别式的两个根。判别式\\delta = (-12)^2 - 4 \\cdot 6 \\cdot 5 = 144 - 120 = 24 ＞ 0。。 。x_{3,4} = \\frac{12 \\pm \\sqrt{24}}{12} = 1 \\pm \\frac{2\\sqrt{6}}{12} = 1 \\pm \\frac{\\sqrt{6}}{6}。所以，。 所以，。所以，x_3 = 1 - \\frac{\\sqrt{6}}{6}，，，x_4 = 1 + \\frac{\\sqrt{6}}{6}(或相反，不影响结果)。(或相反，不影响结果)。(或相反，不影响结果)。|x_3-x_p| = |1 - \\frac{\\sqrt{6}}{6} - 1| = \\frac{\\sqrt{6}}{6}。。 。|pA|^2 = (\\frac{\\sqrt{6}}{6})^2 (1+(-1)^2) = \\frac{6}{36} \\cdot 2 = \\frac{1}{6} \\cdot 2 = \\frac{1}{3}。所以，。 所以，。所以，|pA| \\cdot |pb| = \\frac{1}{3}$。

“嗯？|pm|·|pN| = 1\/3，|pA|·|pb| = 1\/3？”

秦风看着草稿纸上的结果，眼中闪过一丝明悟。

“如果 |pm|·|pN| = λ |pA|·|pb| 恒成立，那么 λ = 1？”

他仔细检查了一遍自己的计算过程，每一个步骤都清晰无误。

“过目不忘”带来的不仅仅是记忆力，还有一种对细节的极致洞察力，让他很难在计算中出错。

而那7点的智力，虽然不高，但在此刻也发挥了关键作用，让他的逻辑推理能力上了一个小台阶。

【“过目不忘（体验版）”剩余时间：02分15秒。】

时间所剩无几！

秦风额头已经布满了汗珠，但他眼神却越来越亮。

他迅速整理思路，将整个解题过程清晰、完整地书写在另一张干净的草稿纸上。字迹虽然因为追求速度而略显潦草，但每一个步骤都条理清晰，逻辑严谨。

当他写下最后一个“综上所述，存在常数λ=1，使得等式恒成立”的结论时，脑海中的倒计时，正好跳到了“00分03秒”。

“呼——”

秦风长长地舒了一口气，整个人如同虚脱一般，靠在了椅背上。

几乎在同时，那种大脑如同超级计算机般高速运转、对一切信息过目不忘的奇异感觉，潮水般退去。

他的大脑恢复了往常的状态，甚至因为刚才的超负荷运转，还带着一丝轻微的疲惫和晕眩。

但他心中，却充满了前所未有的充实感和喜悦！

他做到了！

他竟然真的独立解决了一道连他自己都不敢想象的超级难题！

这种通过自身努力（虽然有系统辅助）攻克难关所带来的巨大成就感，是任何东西都无法比拟的！

学习，原来也可以这么爽！

就在这时，冰冷机械的系统提示音，如约而至：

【叮！新手任务：独立正确解答数学难题，已完成！】

【任务评价：优秀（解题思路清晰，步骤完整，用时57分57秒，符合预期）。】

【正在结算任务奖励……】

秦风的心脏不争气地加速跳动起来，眼中充满了期待。

【恭喜宿主获得奖励：10点学神积分！】

【恭喜宿主获得奖励：“初级数学思维”（碎片1\/3）！】

10点学神积分！

秦风的眼睛瞬间亮了！

在之前的系统介绍中，他隐约记得，积分似乎是系统商城里的硬通货，可以用来兑换各种神奇的道具和能力！这可是实打实的好东西！

而更让他惊喜的，是那个“初级数学思维”碎片！

就在系统提示音落下的瞬间，秦风感觉到一股微弱但却异常玄妙的暖流，从自己眉心处涌入大脑。

紧接着，他脑海中关于数学的那些零散的、通过“过目不忘”强行记忆下来的知识点，仿佛被一只无形的大手轻轻拨动了一下。

许多之前只是记住但并未完全理解透彻的公式定理，此刻竟然有了一种豁然开朗的感觉！

他对刚刚解出的那道复杂函数题，也有了更深一层的感悟。

如果让他现在重新做一遍，他甚至能隐约感觉到，除了自己刚才用的那种解法外，似乎还有其他更简洁、更巧妙的思路！

这种感觉非常奇妙，就像是原本混沌一片的数学世界，突然被点亮了一盏小小的明灯，虽然光芒微弱，却足以照亮一小片区域，让他对数学的感知和理解，都提升了一个微小的层次。

“这就是‘初级数学思维’碎片的效果吗？”秦风心中震撼。

仅仅是三分之一的碎片，就有如此效果，那若是集齐了完整的“初级数学思维”，甚至是更高级的数学思维，那自己岂不是真的能成为数学之神？

系统的神奇和强大，再一次刷新了他的认知。

他低头看了看自己因为长时间用力握笔而有些发红的手指，又看了看那张写满了推演过程的草稿纸。

虽然“过目不忘”的效果已经消失，但刚才那一个小时的疯狂学习和解题过程，却深深地烙印在了他的记忆中。那些被他“吞”下去的知识，并没有完全消失，而是有一部分，在他7点智力和“初级数学思维”碎片的影响下，真正开始沉淀下来，转化为他自己的东西。

“学神黑科技系统……”秦风的眼中闪烁着前所未有的光芒。

绝望早已被一扫而空，取而代之的，是熊熊燃烧的希望和斗志！

他知道，从激活这个系统开始，他的人生，已经彻底不一样了！

学渣的逆袭之路，才刚刚开始！

而他手中这10点宝贵的学神积分，以及那神秘的“初级数学思维”碎片，就是他踏上这条逆袭之路的第一桶金！

接下来，该好好研究一下，这10点积分，能给自己带来什么样的惊喜了！

秦风的嘴角，不由自主地扬起一抹充满期待的笑容。