第7章 技惊四座！这解法太完美了

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讲台上，秦风手执半截白色粉笔，静静地伫立在巨大的黑板前。

阳光透过窗棂，在他清瘦却挺拔的身影上投下一片斑驳的光晕，空气中，细小的粉笔尘埃在光柱中飞舞，如同无数微缩的星辰。

整个高三（七）班，此刻陷入了一种近乎凝固的死寂。

所有人的目光，都如同被磁石吸引的铁屑，牢牢地钉在秦风的身上，以及他面前那道堪称“地狱级”难度的椭圆综合大题上。

先前那些幸灾乐祸的窃笑、轻蔑的议论、以及看好戏的眼神，此刻都已悄然隐去，取而代之的，是一种混杂着难以置信、强烈好奇以及一丝丝莫名称之为“期待”的复杂情绪。

他们实在无法理解，这个平日里连及格线都摸不到的“着名学渣”，究竟是哪里来的勇气，敢在数学老师高远的盛怒与全班同学的注视下，如此从容不迫地走上讲台，去挑战一道连班级顶尖学霸都望而生畏的题目？

难道他真的疯了？还是说，他隐藏了什么不为人知的秘密？

高远双手环抱在胸前，斜倚在讲台边缘，嘴角噙着一抹冰冷的讥诮。他倒要看看，这个不知天高地厚的秦风，究竟能在这道题目面前撑多久！他甚至已经想好了，等秦风在黑板前抓耳挠腮、丑态百出之后，自己该如何用最尖酸刻薄的语言，将他那可笑的“自信”彻底碾碎，让他明白什么叫做真正的绝望！

秦风没有理会周遭的一切。

他的心神，已经完全沉浸在了眼前的这道题目之中。

脑海中，“学神黑科技系统”的辅助功能已悄然启动。

【叮！检测到宿主面临高难度学术挑战，系统辅助模块已激活。】

【“初级数学思维（碎片）”效果增强，逻辑推演速度提升50%，复杂信息处理能力提升30%！】

【正在对当前题目进行多维度解析……解析完毕！已为宿主筛选出最优解题路径三条，请宿主自行选择。】

冰冷而机械的系统提示音，如同最精准的导航，在秦风的意识深处响起。

刹那间，那道原本在他眼中依旧显得有些盘根错节、迷雾重重的椭圆大题，仿佛被一只无形的大手拨开了层层迷雾，露出了其内在清晰的逻辑脉络。

各种相关的定义、定理、公式、辅助线作法、以及不同解题思路的优劣，如同潮水般涌入他的脑海，并被迅速整合、分析、优化。

“原来如此……”秦风的眼眸深处，闪过一丝了然的精光。

他深吸一口气，感受着大脑前所未有的清明与活跃，以及那股源于“初级数学思维”碎片的、对数学问题本质的敏锐洞察力。

然后，他动了。

手中的粉笔，在所有人的注视下，稳稳地落在了黑板的左上角。

“唰——”

清脆的摩擦声响起，打破了教室内的死寂。

解：

一个清晰而有力的“解”字，如同点睛之笔，瞬间吸引了所有人的目光。

紧接着，秦风的笔尖开始在黑板上飞舞起来。

（1）由题意知，e=ca=22e = \\frac{c}{a} = \\frac{\\sqrt{2}}{2}e=ac=22，则 a2=2c2a^2 = 2c^2a2=2c2

又因为 a2=b2+c2a^2 = b^2 + c^2a2=b2+c2，所以 $2c^2 = b^2 + c^2......直线pF2的斜率，直线pF?的斜率 ，直线pF2的斜率k_{pF_2} = \\frac{y}{x-c}。由k_{pF_1} \\cdot k_{pF_2} = -\\frac{1}{2}，得，得 ，得\\frac{y^2}{(x+c)(x-c)} = -\\frac{1}{2}，即\\frac{y^2}{x^2-c^2} = -\\frac{1}{2}。因为点p(x,y)在椭圆上，所以。因为点p(x, y)在椭圆上，所以 。因为点p(x,y)在椭圆上，所以\\frac{x^2}{a^2} + \\frac{y^2}{b^2} = 1，即，即 ，即y^2 = b^2(1-\\frac{x^2}{a^2})。代入上式，并结合。

代入上式，并结合 。代入上式，并结合b^2=c^2及及及a^2=2c^2得：\\frac{c^2(1-\\frac{x^2}{2c^2})}{x^2-c^2} = -\\frac{1}{2} \\frac{c^2 - \\frac{x^2}{2}}{x^2-c^2} = -\\frac{1}{2} 2(c^2 - \\frac{x^2}{2}) = -(x^2-c^2) 2c^2 - x^2 = -x^2 + c^2 2c^2 = c^2 $

“嗯？”秦风写到这里，眉头微微一蹙。这个结果显然是错误的。

台下，高远嘴角的讥诮更浓了：“怎么？这就卡住了？看来‘大数学家’的水平也不过如此嘛！”

一些同学也忍不住发出了低低的嗤笑声。

秦风却恍若未闻，他的大脑在飞速运转。系统虽然给出了最优路径，但具体的推导和计算，依然需要他自己完成。刚才的推导过程中，显然有一个细节被他忽略了，或者说，系统给出的“斜率之积”这个条件，可能有更简洁的应用方式。

“点p在椭圆上，斜率之积……椭圆的第二定义？

不对……等等，y2=?12(x2?c2)y^2 = -\\frac{1}{2}(x^2-c^2)y2=?21(x2?c2)，这个形式……”

秦风的目光再次扫过题目条件，脑海中灵光一闪！

“我明白了！”

他迅速擦掉了刚才推导错误的部分，粉笔尖再次点向黑板。

由 kpF1-kpF2=?b2a2k_{pF_1} \\cdot k_{pF_2} = -\\frac{b^2}{a^2}kpF1?kpF2=?a2b2 是椭圆的一个固有性质（当焦点在x轴上时，对于非顶点p，其与两焦点连线斜率之积为常数?b2a2-\\frac{b^2}{a^2}?a2b2）。

因此，?b2a2=?12-\\frac{b^2}{a^2} = -\\frac{1}{2}?a2b2=?21，即 a2=2b2a^2 = 2b^2a2=2b2。

......

所以，椭圆c的标准方程为：x22+y2=1\\frac{x^2}{2} + y^2 = 12x2+y2=1

行云流水！

当秦风写下椭圆标准方程的那一刻，台下那些原本准备看笑话的同学，脸上的表情都微微一僵。

虽然第一问相对简单，但秦风刚才那短暂的停顿、迅速的纠错、以及最后那句“椭圆的固有性质”，都显示出他对椭圆知识点的掌握，似乎……并没有他们想象中那么不堪？

尤其是那句“固有性质”，很多同学甚至都没听说过，或者只是在某些参考书的角落里见过，根本没当回事！

高远也是微微一怔，他没想到秦风竟然知道这个相对冷僻的性质。不过，他很快便恢复了镇定，心中冷笑：“哼，歪打正着罢了！第一问算你蒙混过关，我看你第二问、第三问怎么办！”

秦风没有理会台下的反应，他的注意力高度集中，粉笔毫不停歇地转向了第二问。

（2）由（1）知 F1(?1,0),F2(1,0)F_1(-1, 0), F_2(1, 0)F1(?1,0),F2(1,0)。设直线l的方程为 x=my+1x = my+1x=my+1（当直线l斜率k存在时，m=1km=\\frac{1}{k}m=k1；当k不存在时，直线l为x=1x=1x=1，与椭圆交于(1,±22)(1, \\pm \\frac{\\sqrt{2}}{2})(1,±22)，此时Ab中点为(1,0)(1,0)(1,0)即F?，直径iAbi=2|Ab|=\\sqrt{2}iAbi=2，圆心为F?，显然不过F?，故k存在且不为0）。

将 x=my+1x = my+1x=my+1 代入椭圆方程 x22+y2=1\\frac{x^2}{2} + y^2 = 12x2+y2=1得：

......

设 A(xA,yA),b(xb,yb)A(x_A, y_A), b(x_b, y_b)A(xA,yA),b(xb,yb)，则 yA+yb=?2mm2+2y_A + y_b = -\\frac{2m}{m^2+2}yA+yb=?m2+22m，yAyb=?1m2+2y_A y_b = -\\frac{1}{m^2+2}yAyb=?m2+21。

因为以Ab为直径的圆过点F?，所以 F1A??F1b?=0\\vec{F_1A} \\cdot \\vec{F_1b} = 0F1A?F1b=0.

......

代入韦达定理的表达式：

(m2+1)(?1m2+2)+2m(?2mm2+2)+4=0(m^2+1)(-\\frac{1}{m^2+2}) + 2m(-\\frac{2m}{m^2+2}) + 4 = 0(m2+1)(?m2+21)+2m(?m2+22m)+4=0

......

所以 m=±7m = \\pm \\sqrt{7}m=±7

则直线l的斜率 k=1m=±17=±77k = \\frac{1}{m} = \\pm \\frac{1}{\\sqrt{7}} = \\pm \\frac{\\sqrt{7}}{7}k=m1=±71=±77

“唰唰唰——”

粉笔在黑板上划过，留下一行行清晰、工整、逻辑严密的推演步骤。

秦风的动作没有丝毫的停顿，仿佛这些复杂的计算和推导，早已经在他脑海中演练了千百遍。

他的思路之清晰，步骤之简练，速度之快捷，已经让台下所有的学生都看得目瞪口呆！

那些原本还带着一丝轻蔑和怀疑的眼神，此刻已经完全被震惊所取代！

“卧槽！这……这真的是秦风在解题？”

“他的速度也太快了吧！而且每一步都好像没有经过思考一样，直接就写出来了！”

“第二问的计算量这么大，他竟然一点都没卡壳？这不科学啊！”

“你们看他的步骤，用向量法处理圆过F?的条件，思路非常清晰，比我们平时想的那些硬算要简洁多了！”

就连班级里那几个自诩为学霸的学生，此刻也是面面相觑，从彼此的眼中看到了一抹难以置信的骇然。

他们扪心自问，就算把这道题交给他们来做，也绝对不可能达到秦风这种举重若轻、行云流水般的境界！

高远脸上的讥诮早已消失得无影无踪，取而代之的，是一种见了鬼般的错愕与呆滞。

他的嘴巴微微张着，喉结不自觉地上下滑动了一下，似乎想说些什么，却发现自己一个字也发不出来。

这……这怎么可能？！

这个秦风，不是那个连最基础的椭圆定义都搞不清楚的学渣吗？

他怎么可能在如此短的时间内，如此完美地解出这道题的第二问？

难道……他之前一直都在藏拙？